亞里士多德所認為對於天體乃是「自然的」那種圓運動，其實包含著運動方向的不斷變化，因此按照牛頓的引力定律，就需要有一種朝向圓心而作用著的力。最後，天體永恆不毀的這一觀點也不得不被人放棄了。太陽和星辰有著悠久的生命，但卻不是永遠生存的。它們是從星雲裡生出來的，並且最後不是爆炸就是要冷卻而死亡。在可見的世界裡，並沒有什麼東西是可以免於變化和毀滅的；亞里士多德式的與此相反的信仰，儘管為中世紀的基督徒所接受，其實乃是異教徒崇拜日月星辰的一種產物。
6數學與天文學
希臘人在藝術、文學和哲學方面的成就，其是好是壞可以依據個人的口味來評判；但是他們在幾何學上的成就卻是無可疑問的。他們從埃及得到了一些東西，從巴比倫那裡得到的則很少；而且他們從這些來源所獲得的東西，在數學方面主要是粗糙的經驗，在天文學方面則是為其非常悠久的觀察記錄。數學的證明方法，則幾乎是完全起源於希臘。最早的最簡單的故事是關於泰勒斯的。傳說有一天，泰勒斯在埃及的時候國王曾要他求出一個金字塔的高度。他等到太陽照出來他自己影子的長度與他的身高相等的時候，就去測量金字塔的影子；這個影子當然就等於金字塔的高度。據說透視定律最初是幾何學家阿加塔庫斯為了給伊斯奇魯斯的戲劇畫佈景而加以研究的。傳說是被泰勒斯所研究過的求一隻船在海上的距離的問題，在很早的階段就已經很正確地解決了。
希臘幾何學所關心的大問題之一，即把一個立方體增加一倍的問題，據說是起源於某處神殿裡的祭司們。神諭告訴他們說，神要的一座雕像比他們原有的那座大一倍。最初他們只是想到把原像的尺寸增加一倍，但是後來他們才認識到結果就要比原像大八倍，這比神所要求的要更費錢得多。於是他們就派遣一個使者去見柏拉圖，請教他的學園裡有沒有人能解決這個問題。幾何學家們接受了這個問題，鑽研了許多世紀，並且附帶地產生出了許多可驚可歎的成果。這個問題當然也就是求2的立方根的問題。除了2的平方根之外，其他的無理數在特殊的例子裡也曾被與蘇格拉底同時代的狄奧多羅斯研究過，並且曾以更為普遍的方式被與柏拉圖大致同時而稍早的泰阿泰德研究過。
德謨克利特寫過一篇關於無理數的論文，但是文章的內容我們已不大知道了。柏拉圖對這個題目是深感興趣的；他在以「泰阿泰德」命名的那篇對話裡提過了狄奧多羅斯和泰阿泰德的作品。在《法律篇》中，他說過一般人對這個題目的愚昧無知是很不光彩的，並且還暗示著他自己之開始知道它也是很晚的事情。它當然對於畢達哥拉斯派的哲學有著重要的關係。歐阿里德，約在公元前300年，即當亞歷山大和亞里士多德死後不久的幾年，生活於亞歷山大港。他的《幾何原本》絕大部分並不是他的創見，但是命題的次序與邏輯的結構則絕大部分是他的。一個人越是研究幾何學，就越能看出它們是多麼值得讚歎。他用有名的品行定理以處理品行線的辦法，具有雙重的優點；演繹既是有力的，而又並不隱飾原始假設的可疑性。比例的理論是繼承攸多克索的，其運用的方法本質上類似於魏爾斯特拉斯所介紹給19世紀的分析數學的方法，於是就避免了有關無理數的種種困難。然後阿幾里德就過渡到一種幾何代數學，並在第十卷中探討了無理數這個題目。
在這以後阿幾里德就接著討論立體幾何，並以求作正多面體的問題而告結束，這個問題是被泰阿泰德所完成的並曾在柏拉圖的《蒂邁歐篇》裡被提到過。他的《幾何原本》毫無疑義是古往今來最偉大的著作之一，是希臘理智最完美的紀念碑之一。當然他也具有典型的希臘局限性：他的方法純粹是演繹的，並且其中也沒有任何可以驗證基本假設的方法。這些假設被他認為是毫無問題的，但是到了19世紀，非歐幾何學便指明了它們有些部分是可以零錯誤的，並且只有憑觀察才能決定它們是不是錯誤。阿幾里德幾何學是鄙視實用價值的，這一點早就被柏拉圖所諄諄教誨過。據說有一個學生聽了一段證明之後便問，學幾何學能夠有什麼好處，於是阿幾里德就叫進來一個奴隸說：「去拿三分錢給這個青年，因為他一定要從他所學的東西裡得到好處。」然而鄙視實用卻實用主義地被證明了是有道理的。
在希臘時代沒有一個人會想像到圓錐曲線是有任何用處的；最後到了17世紀伽利略才發現拋射體是沿著拋物線而運動的，而開普勒則發現行星是以橢圓而運動的。於是，希臘人由於純粹愛好理論所做的工作，就一下子變成了解決戰術學與天文學的一把鑰匙了。羅馬人的頭腦太過於實際而不能欣賞阿幾里德；第一個提到阿幾里德的羅馬人是西塞羅，在他那時候阿幾里德或許還沒有拉丁文的譯本；並且在鮑依修斯以前，確乎是並沒有任何關於拉丁文譯本的記載。阿拉伯人卻更能欣賞阿幾里德；大約在760年，拜占庭皇帝曾送給過回教哈里發一部《阿幾里德》；大約在800年，當哈倫·阿爾·拉西德在位的時候，《阿幾里德》就有了阿拉伯文的譯文了。現在最早的拉丁文譯本是巴斯的阿戴拉德於公元1120年從阿拉伯文譯過來的。
從這時以後，對幾何學的研究就逐漸在西方復活起來；但是一直要到文藝復興的晚期才作出了重要的進步。攸多克索在前人發現了無理數這一成果的基礎上發明了關於比例的幾何理論。在他以前，只有關於比例的算數理論。按照這種理論，如果a乘d等於b乘c，則a比b就等於c比d。這種界說，在還沒有有關無理數的幾何理論時，就只能應用於有理數。然而攸多克索提出了一個不受這種限制的新界說，其構造的方式暗示了近代的分析方法。這一理論在阿幾里德的書裡得到了發展，並具有極大的邏輯美。攸多克索還發明了或者是完成了「窮盡法」，它後來被阿基米得運用得非常成功。這種方法是對積分學的一種預見。
在幾何學之後，我們現在來談天文學，希臘人在這方面的成就正像在幾何學方面是一樣地引人注目。在希臘之前，巴比倫人和埃及人許多世紀以來的觀察已經奠定了一個基礎。他們記錄下來了行星的視動，但是他們並不知道晨星和昏星就是一個。巴比倫無疑地，而且埃及也可能，已經發現了食的週期，這就使人能相當可靠地預言月食，但是並不能預言日食；因為日食在同一個地點並不是總可以看得見的。把一個直角分為90度，把一度分為60分，我們也是得之於巴比倫人的；巴比倫人喜歡60這個數目，甚至於還有一種以六十進位的計數體系。希臘人總是喜歡把他們的先祖人物的智慧都歸功於是遊歷了埃及的結果，但是在希臘人以前，人們所成就的東西實在是很少的。然而泰勒斯的預言月食，卻是受了外來影響的一個例子；我們沒有理由設想他在從埃及和巴比倫那裡所學到的東西之外又增加了什麼新東西，並且他的預言得以證實，也完全是幸運的巧合。讓我們先看希臘人最早的一些發現與正確的假說。
阿那克西曼德認為大地是浮蕩著的，並沒有任何東西在支持它。亞里士多德總是反對當時各種最好的假說的，所以他就反駁阿那克西曼德的理論，亦即大地位於中心永遠不動，因為它並沒有理由朝著一個方向運動而不朝另一個方向運動。亞里士多德說，如果這種說法有效，那麼一個人若是站在圓心，縱令在圓周的各點上都擺滿了食品的話，他也會餓死的，因為並沒有理由要選擇哪一部分食品而不選擇另一部分食品。這個論證重新出現於經院哲學裡，但不是與天文學聯繫在一起，而是與自由意志聯繫在一起的。它以「布理當的驢」的形式而重行出現，布理當的驢因為不能在左右兩邊距離相等的兩堆草之間作出選擇，所以就餓死了。
第一個認為地是球形的人被認為有可能是畢達哥拉斯，據說他的這種學說被歸功於費勞羅，他是底比斯人，生活於公元前5世紀的末期。但是他的理由卻是審美的而非科學的。然而，科學的理由不久就被發現了。雖然畢達哥拉斯的這種學說是幻想的，並且還有些部分是非常不科學的，但它卻非常之重要，因為它包含了設想哥白尼假說時所必需的大部分的想像能力。把地球不設想為宇宙的中心而設想為行星中的一個，不設想為永恆固定的而設想為在空間裡遨遊的，這就表現出一種了不起的擺脫了人類中心說的思想解放。一旦人在宇宙中的自然圖像受到了這種搖撼的時候，就不難以科學的論證把它引到更正確的理論上來了。
阿那克薩哥拉發現了月亮是由於反光而發光的，並且對月食作出了正確的理論。他本人仍然認為地是平的，但是月食時地影的形狀卻使得畢達哥拉斯派有了擁護地是球形的最後定論性的論據。他們更進一步把地球看成是行星之一。他們知道了晨星和昏星就是同一個星，並且他們認為所有的星包括地球在內都沿著圓形而運動，但不是環繞著太陽而是環繞著中心的火。他們已經發現了月亮總是以同一面對著地球的，並且他們以為地球也總是以同一面對著「中心的火」。地中海區域位於與中心的火相悖的那一面，所以就永遠看不見中心的火。
中心的火就叫做「宙斯之家」或者「眾神之母」。太陽是由於反射中心的火而發光的。除了地球之外還有另一個物體，叫做反地球，與中心的火距離相等。關於這一點，他們有兩個理由：一個是科學的，另一個即得自於他們算學上的神秘主義。科學的理由即他們正確地觀察到了，月食有時是當日月都在地平線之上的時候出現的。這種現象的原因是折射，他們還不知道折射，於是就認為在這種情形下月食必定是由於地球之外的另一個物體有影子的緣故。另一個原因就是日、月、五星、地球與反地球以及中心的火就構成了十個天體，而十則是畢達哥拉斯派的神秘數字。有許多觀察對於這一點都是有貢獻的。
稍晚於阿那克薩哥拉的歐諾比德發現了黃道的斜度。不久就明白了太陽到底是比地球大得多，這一事實便支持了那些否認地球是宇宙的中心的人們。中心的火與反地球，在柏拉圖的時代之後不久就被畢達哥拉斯派拋棄了。滂土斯的赫拉克利特發現了金星與水星都環繞太陽而旋轉，並且採取了地球每24小時繞著它自己的軸線轉動一周的見解。這種見解是前人所不曾採取過的一個非常重要的步驟。
赫拉克利特屬於柏拉圖學派，並且一定是一個偉大的人物，但並沒有像我們所能期待的那樣為人尊敬；他被描述成是一個肥胖的花花公子。薩摩的亞里士達克是所有的古代天文學家中最使人感興趣的人，因為他提出了完備的哥白尼式的假說，即一切行星包括地球在內都以圓形在環繞著太陽旋轉，並且地球每24小時繞著自己的軸自轉一周。但是現存的亞里士達克的唯一作品《論日與月的大小與距離》卻還是墨守著地球中心的觀點，這件事是有點令人失望的。的確，就這本書所討論的問題而言，則無論他採取的是哪種理論都並沒有任何的不同；所以他可能是認為，對於天文學家的普遍意見加以一種不必要的反對，從而加重他計算的負擔，乃是一樁不智之舉；或者他也可能是僅僅在寫過這部書之後，才達到了哥白尼式的假說的。湯姆斯·希斯爵士在他那本關於亞里士達克的書裡就是傾向於後一種見解的。
但無論情形是哪一種，亞里士達克之曾經提示過哥白尼式的觀點，這件事的證據卻是十足可以定論無疑的。第一個而且最好的證據就是阿基米得的證據，我們已經說過阿基米得是亞里士達克同時代的一個較年輕的人。在他寫給敘拉古的國王葛倫的信裡說，亞里士達克寫成了「一部書，其中包括著某些假說」；並繼續說：「他的假說是說恆星和太陽不動，地球則沿著圓周而環繞太陽旋轉，太陽位於軌道的中間。」在普魯塔克的書裡有一段話提到，克雷安德認為「以不虔敬的罪名來懲罰亞里士達克乃是希臘人的責任，因為他使得宇宙的爐灶運動起來，這是他設想天靜止不動而地則沿著斜圓而運轉，同時並環繞其自身的軸而自轉，以圖簡化現象的結果」。
克雷安德是亞里士達克同時代的人，約死於公元前232年。在另一段話裡普魯塔克又說，亞里士達克提出這種見解來僅只是作為一種假說，但是亞里士達克的後繼者塞琉古則把它當做是一種確定的意見。艾修斯和塞克斯托·恩皮裡庫斯也說到亞里士達克提出了太陽中心說，但是他們並沒有說他提出這種學說來僅僅是作為一種假說。縱使他確乎是這種提法，那也很可能他是像兩千年以後的伽利略一樣，是由於害怕觸犯宗教偏見的影響所致。哥白尼式的假說被亞里士達克提出來之後，是被塞琉古明確地加以接受了的，但是並沒有被其他任何的古代天文學家所接受。這種普遍的反對主要是由於希巴古的緣故。