當我們談對於數的理解時要加以考慮的是兩種非常不同的東西：一方面是算學的命題，另一方面是計數上的經驗命題。「2＋2＝4」屬於前一種；「我有十個指頭」則屬於後一種。我應該同意柏拉圖的說法，即算學以及一般的純粹數學並不是從知覺得來的。純粹數學包含著有類於「人是人」那樣的同義反覆，但通常只不過是更為複雜罷了。要知道一個數學命題是否正確，我們並不需要研究世界，而只需研究符號的意義；而符號，當我們省略掉定義之後，就只不過是「或者」與「不是」以及「一切」與「某些」等之類的字，而這些字並不像「蘇格拉底」，它們並不指示現實世界中的任何事物。一個數學方程式肯定兩組符號有著同一的意義；只要我們使自己限於純粹數學的範圍之內，這種意義就必定是一種無須我們知道任何能被知覺的事物便可以加以理解的意義。因此，數學的真理，正像柏拉圖所說，乃是與知覺無關的；它是非常奇特的一種真理，並且僅只涉及符號。計數的命題，例如「我有十個指頭」，就完全是屬於另一種範疇了，並且顯然是要依靠知覺的。「指頭」的概念很明顯地是從知覺中抽像出來的；但是「十」這個概念又是怎樣的呢？
這裡我們似乎達到了真正的共相，或者柏拉圖的理念。我們不能說「十」是從知覺之中抽像出來的，因為凡是可以看成是十個的有關某種事物的任何知覺，也都可以同樣地看成是別的數目。假使我是用「指」這個名字來稱整個一隻手的全部手指頭；那麼我就可以說「我有兩個指」，而這也就描述了我此前用十這個數字所描述的同一個知覺事實。這樣，在「我有十個指頭」這一陳述裡比起在「這是紅的」這樣的一種陳述裡來，知覺就佔有更少的地位，而概念則佔有更多的地位。然而這個問題只是程度的不同。
關於有「十」這個字出現的命題，我們完全的答案是：當我們把這些命題加以正確分析的時候，我們就可以發現它們並沒有包含任何成分是與「十」這個字相當的。要以十這樣大的數目的例子來解說這一點是比較複雜的；因此，不妨讓我們代之以「我有兩隻手」。這就意味著「有一個a於是便有一個b，而a與b並不是同一個。當，並且唯有當x是a或者x是b的時候，『x是我的一隻手』才是真的，無論x可能是什麼」。在這裡「兩」這個字並沒有出現。的確a和b，這兩個字出現過，但是我們並不需要知道它們是兩個，就正像我們並不需要知道它們是黑的還是白的，或者可能具有任何別的顏色一樣。因而，數在某種嚴格的意義上來說，便是形式的。足以證明那些斷言有各種各樣的組合各有兩個成分的各種不同命題的種種事實，其共同之點並不是一種組成部分而僅僅是一種形式。
在這一點上，它們和那些有關自由神像、或者月亮、或者喬治·華盛頓的命題是不同的。那些命題都涉及時—空的一個特殊部分，在所有的關於自由神像所能作的各種陳述之中這一點都是共同的。但是在「有兩個某某」的這類命題之間，則除了一個共同的形式之外，便再沒有任何共同的東西了。「兩」這個符號對於一個有這個符號出現的命題的意義的關係，就要比「紅」這個符號對於一個有紅字出現的命題的意義的關係遠為複雜得多。在某種意義上，我們可以說「兩」這個符號並不意味任何事物；因為當它在一個真語句裡出現的時候，這個語句的意義裡面並沒有一個與之相當的組成部分。如果我們願意的話，我們還可以說數是永恆的、不變的等，但是我們必須補充說，它們都是邏輯的虛構。最後來談存在，這是柏拉圖所極為強調的。
柏拉圖認為，關於聲音和顏色我們有一種思想可以同時包含這兩者，那便是它們存在。存在屬於一切的事物，並且是心靈本身所能認知的那些事物之一；不達到存在就不可能達到真理。這裡我們所反駁柏拉圖的論證，與上面所反駁相似與不相似的論證是全然不同的。這裡的論證是：柏拉圖關於存在所說的一切話都是壞文法，或者不如說是壞語法。這一點不僅與柏拉圖的關係是重要的，而且對於其他的題目也是重要的。假設你對一個小孩子說「獅子是存在的，但麒麟並不存在」，你可以把他帶到動物園裡去，跟他說「瞧，這就是獅子」，從而證明你那與獅子有關的論點。可是除非你是一個哲學家，否則你一定不會補充說：「現在你可以看到，那是存在的了。」但如果你是一個哲學家並且真的補充說了這一點，那你就是在說著毫無意義的話了。說「獅子存在」就是說「有獅子」，也就是說「對於一個合適的x來說，『x是獅子』是真的。」但是我們卻不能談論一個合適的x，說它「存在」；我們只能把這個動詞應用於一種完全的或不完全的描述。
「獅子」是一個不完全的描述，因為它可以應用於許多的客體：「這個動物園裡的最大的獅子」則是完全的描述，因為它只能應用於一個客體。現在假設我正在注視著一片鮮紅。我可以說「這是我現在的知覺」，我也可以說「我現在的知覺存在」；但是我一定不能說：「這存在」，因為「存在」這個字只有在用之於與一個名字相對立的一種描述時，才是有意義的。這就把存在處理成是心靈在客體裡所察覺到的事物之一。以上的考察就表明了，儘管有一種形式的知識，亦即邏輯與數學，並不是得自於知覺的；但柏拉圖關於其他一切知識的論證卻都是謬誤的。當然，這並不證明他的結論都是假的；它僅僅證明柏拉圖並沒有提出有效的理由來假定他的結論是真的。
接下來我們就來談普羅塔哥拉的論點，即人是萬物的尺度，或者每個人都是萬物的尺度。這裡最根本之點就是，我們必須決定討論是在哪個層次上進行的。很顯然的，首先我們必須區別開知覺與推論。在知覺方面，一個人不可避免地只是限於他自身的知覺；凡是他所知道的別人的知覺，他都是由他自身的視與聽的知覺裡面推論而知道的。做夢的人和瘋人的知覺，作為知覺來說，也正像別人的知覺是一樣的；對於它們的唯一反駁就是，因為它們的前後聯繫異乎尋常，所以它們很容易造成謬誤的推論。但是推論又是怎樣的呢？它們也同樣地是個人的與私有的嗎？在某種意義上，我們必須承認它們也是的。凡是我所相信的東西，必定是由於有某種能夠使我相信的原因。的確，我的原因可以是另一個人的論斷，並且它還可以是完全正當的原因——例如我是一個法官在聽取證詞。可是無論我可能是怎樣的普羅塔哥拉的信徒，但對於某一套形象我寧願接受某個敘述者的意見而不用我自己的意見，這總歸是合理的事。因為我將會一再重複地發現，如果我起初不同意他的話，只要肯細心一點兒就可以證明他是對的。在這種意義上，我可以承認另一個人比我更有智慧。
普羅塔哥拉的論點，如果加以正當的解釋，並不包含著一種見解說我永遠不犯錯誤，而只是說我錯誤的證據必須向我呈現出來。對我過去的自己也可以加以判斷，正如對別人可以加以判斷一樣。但是這一切都要預先假定，作為與知覺相對立的推論是有著某種非個人的正確與否的標準的。假如我所作的任何一個推論都正像任何另一個推論是一樣地好，那麼柏拉圖從普羅塔哥拉那裡所推演出來的知識的無政府狀態，事實上就確乎要出現了。因此在這個重要點上，柏拉圖似乎是對的。但是經驗主義者卻要說，知覺才是檢驗推論中經驗材料正確與否的試金石。
最後我們來看普遍流變的學說，這一學說是經柏拉圖所歪曲過的，我們很難想像曾有任何別人主張過柏拉圖所賦給它的那種極端的形式。例如，讓我們假設，我們所看到的顏色是在不斷地變化著。「紅」這樣一個字可以應用於許多顏色，但是如果我們說「我看見了紅」，我們並沒有理由認為在我們說這話的整個那段時間內，這話就應該不是真的。柏拉圖是把見與不見、知與不知這樣的一些邏輯的對立應用於不斷變化的過程，而得到他的結果的。可是這些對立卻並不適用於描述這一類的過程。假設在一個大霧瀰漫的日子裡，你注視著一個人從你的身邊沿著大路走下去：他變得越來越模糊，終於到了一個時間你可以確定你是看不見他了，但是期間卻還有一段疑惑不定的中間時期。邏輯的對立乃是為了我們的方便而被創造出來的，但是不斷的變化卻需要有一種計量的工具，而柏拉圖卻忽略了這種可能性。因此他關於這個題目所說的話，大部分就都是文不對題。與此同時，我們必須承認除非文字在某種限度內具有確定的意義，否則討論就會是不可能的。然而在這裡，我們也很容易過分地絕對化。
文字的意義的確是變化著的，我們不妨以「理念」這個字為例。只有受了相當的教育之後，我們才學會賦給這個字以某種有如柏拉圖所賦給它的意義。文字意義的變化應該落後於文字所描述的變化，這是必要的；但是要求文字的意義應該沒有變化，這卻不是必要的了。或許這一點並不適用於邏輯和數學的抽像文字，這些字只能應用於命題的形式而非命題的內容。於是在這裡，我們又發現了邏輯和數學是特殊的。柏拉圖受了畢達哥拉斯派的影響，過分地把別的知識都同化於數學了。他和許多最偉大的哲學家一樣都犯了這個錯誤，但它畢竟是個偉大的錯誤。