在畢達哥拉斯那裡，政治、宗教、哲學、數學是合一的，以他為代表的畢達哥拉斯學派企圖用數來解釋一切，不僅認為萬物都包含數，而且說萬物都是數。他們以發現勾股定理聞名於世，又由此導致不可通約量的發現。可以說，畢達哥拉斯的思想，構成了古希臘哲學最開始的重要一環。
畢達哥拉斯
畢達哥拉斯出生於靠近伊奧尼亞的薩摩島，大約鼎盛於公元前523年。有人說他是一個殷實的公民叫做姆奈薩爾克的兒子，又有人說他是亞波羅神的兒子。由於他本人並沒有留下任何著作，所以後人把他的思想與學派其他思想家的思想統稱為畢達哥拉斯學派。
畢達哥拉斯的出生地薩摩是米利都的商業競爭地，它的商人足跡遠達以礦產著名的西班牙塔爾特蘇斯地方。在畢達哥拉斯的時代，薩摩被僭主波呂克拉底所統治著，這是一個發了大財的老流氓，有著一支龐大的海軍。波呂克拉底大約於公元前535年成為薩摩的僭主，一直統治到公元前515年為止。他是不大顧慮道德的責難的：他趕掉了他的兩個兄弟，他們原是和他一起搞僭主政治的，他的海軍大多用於進行海上掠奪。不久之前米利都臣服於波斯的這件事情對他非常有利。為了阻止波斯人繼續向西擴張，他便和埃及國王阿馬西斯聯盟。
但是當波斯王堪比西斯集中全力征服埃及時，波呂克拉底認識到他會勝利，於是就改變了立場。他派遣一支由他的政敵所組成的艦隊去進攻埃及，但是水兵們叛變了，回到薩摩島向他進攻。雖然他戰勝了他們，但最後還是中了一樁利用他的貪財心的陰謀而垮台了。在薩爾底斯的波斯總督假裝著要背叛波斯大王，並願拿出一大筆錢來酬答波呂克拉底對他的援助，波呂克拉底到大陸上去會晤波斯總督時，便被捕獲並被釘死在十字架上。波呂克拉底是一位藝術的保護主，並曾以許多了不起的建築美化了薩摩。安那克里昂就是他的宮廷詩人。然而畢達哥拉斯卻不喜歡他的政府，所以便離開了薩摩島。據說——而且不是不可能的——畢達哥拉斯到過埃及，他的大部分智慧都是在那裡學得的。
畢達哥拉斯最後的定居地是意大利南部的克羅頓。意大利南部的各希臘城市也像薩摩島和米利，都是富庶繁榮的。此外，它們又遭受不到波斯人的威脅。最大的兩個城市是西巴瑞斯和克羅頓。西巴瑞斯的奢華至今還膾炙人口。據狄奧多羅斯說，它的人口在全盛時期曾達30萬人之多，雖然無疑地這是一種誇大。克羅頓與西巴瑞斯的大小大致相等。兩個城市都靠輸入伊奧尼亞的貨物至意大利為生，一部分貨物是作為意大利的消費品，一部分則從西部海岸轉口至高盧和西班牙。意大利的許多希臘城市彼此激烈地進行征戰，當畢達哥拉斯到達克羅頓的時候，克羅頓剛剛被勞克瑞所戰敗。
然而在畢達哥拉斯到達之後不久，克羅頓對西巴瑞斯的戰爭便取得了完全的勝利，西巴瑞斯在公元前510年徹底地被毀滅了。西巴瑞斯與米利都在商業上一直有密切的聯繫。克羅頓以醫學著名。克羅頓有一個人德謨西底斯曾經做過波呂克拉底的御醫，後來又做過大流士的御醫。畢達哥拉斯和他的弟子在克羅頓建立了一個兼有宗教、政治和學術特徵的秘密團體，這個團體有一個時期在該城中是很有影響的。但是最後，公民們反對他，在當地勢力的政治鬥爭失敗後，畢達哥拉斯就搬到了同樣是意大利南部的梅達彭提翁，並死於此處。不久他就成為一個神話式的人物，被賦予了種種奇跡和神力，但是他也是一個數學家學派的創立者。這樣，就有兩種相反的傳說爭論著他的事跡，而真相便很難弄清楚。
因此，本章的主題就是研究畢達哥拉斯對古代和近代的影響。無論就他的聰明而論或是就他的不聰明而論，畢達哥拉斯都是自有生民以來在思想方面最重要的人物之一。數學，在證明式的演繹推論的意義上的數學是從他開始的，而且數學在他的思想中乃是與一種特殊形式的神秘主義密切地結合在一起的。自從他那時以來，而且一部分是由於他的緣故，數學對於哲學的影響一直都是既深刻而又不幸的。總之，畢達哥拉斯是歷史上最有趣味而又最難理解的人物之一。不僅關於他的傳說幾乎是一堆難分難解的真理與荒誕的混合，而且即使是在這些傳說的最單純最少爭論的形式裡，它們也向我們提供了一種最奇特的心理學。簡單地說，可以把他描寫成是一種愛因斯坦與艾地夫人的結合。
下面介紹一下畢達哥拉斯的數學思想。眾所周知，「萬物都是數」是畢達哥拉斯的著名論斷。這一論斷如以近代的方式加以解釋的話，在邏輯上是全無意義的，然而畢達哥拉斯所指的卻並不是完全沒有意義。他發現了數在音樂中的重要性，數學名詞裡的「調和中項」與「調和級數」就仍然保存著畢達哥拉斯為音樂和數學之間所建立的那種聯繫。他把數想像為表現在骰子上或者紙牌上的那類形狀。我們至今仍然說數的平方與立方，這些名詞就是從他那裡來的。他還提到長方形數目、三角形數目、金字塔形數目等。這些都是構成上述各種形狀所必需的數目小塊塊。他把世界假想為原子的，把物體假想為是原子按各種不同形式排列起來而構成的分子所形成的。他希望以這種方式使算學成為物理學的以及美學的根本研究對象。
除了「萬物都是數」這一經典論斷之外，畢達哥拉斯的最偉大的發現，或者是他的及門弟子的最偉大的發現，就是關於直角三角形的命題，即直角兩夾邊的平方的和等於另一邊的平方，即弦的平方。埃及人已經知道三角形的邊長若為3、4、5的話，則必有一個直角。但是顯然希臘人是最早觀察到32+42=52的，並且根據這一提示發現了這個一般命題的證明。然而不幸的是，畢達哥拉斯的定理立刻引出了不可公約數的發現，這似乎否定了他的全部哲學。在一個等邊直角三角形裡，弦的平方等於每一邊平方的二倍。讓我們假設每邊長1時，那麼弦應該有多長呢？讓我們假設它的長度是m/n時，那麼m2/n2=2。如果m和n有一個公約數，我們可以把它消去，於是m和n必有一個是奇數。現在m2＝2n2，所以m2是偶數，所以m也是偶數，因此n就是奇數。假設m＝2p，那麼4p2=2n2，因此n2=2p2，而因此n便是偶數，與假設相反。所以就沒有m/n的分數可以約盡弦。
以上的證明，實質上就是阿幾里德第十編中的證明。這種論證就證明了無論我們採取什麼樣的長度單位，總會有些長度對於那個單位不能具有確切的數目關係，也就是說，不能有兩個整數m、n，從而使問題中的m倍的長度等於n倍的單位。這就使得希臘的數學家們堅信，幾何學的成立必定是獨立的而與算學無關。柏拉圖對話錄中有幾節可以證明，在他那時候已經有人獨立地處理幾何學了，幾何學完成於阿幾里德。阿幾里德在第二編中從幾何上證明了許多我們會自然而然用代數來證明的東西，例如(a+b)2=a2+2ab+b2。正是因為有不可公約數的困難，他才認為這種辦法是必要的。他在第五編、第六編中論比例時，情形也是如此。整個體繫在邏輯上是醒目的，並且已經預示著19世紀數學家們的嚴謹了。只要關於不可公約數還沒有恰當的算學理論存在時，則阿幾里德的方法便是幾何學中最好的可能方法。當笛卡兒介紹了坐標幾何學從而再度確定了算學至高無上的地位時，他曾設想不可公約數的問題有解決的可能性，雖然在他那時候還不曾發現這種解法。