這種挑戰可以被稱作「給人以虛假希望的綠洲」，或者簡單地稱之為「綠洲陷阱」。在沙漠中，綠洲並不是旅人的目的地，而只不過是旅行途中的一個用來休憩的小站。然而，對於旅人來說，要離開生機勃勃的綠洲，繼續在漫無人煙的黃沙中孤獨地穿行，並自信能夠到達最終的目的，這是很困難的。同樣地，需要突破性思維的問題往往誘使人們安於已經很好但卻不是最正確的答案。要離開這種答案繼續探索也是很困難的。
前面以克朗代克淘金熱這一類比深入到事物的表面之下，揭示了突破性思維的某些基本結構特徵。任何解決問題的過程，都可以被描述成由許多可能的方法和部分答案構成的空間，也就是在相關問題的「可能性空間」中進行勘探的過程。不同種類的問題的可能性空間有著不同的結構。具體說來，突破性問題傾向於有如下具體的結構特徵，這些特徵使得順序推理不適用於這類問題：巨大的可能性的荒野、毫無線索的高原、狹窄的勘探山谷和給人以虛假希望的綠洲。
讓我們來看看下面這個經典的頓悟性謎題，它完全是一個紙面上的克朗代克問題：
請僅用一筆連續畫４條直線，將所有９個點連起來。
通常，讀者可能都希望試著解決這個問題，然後再接著往下閱讀。
這個問題具有克朗代克淘金熱問題的所有特徵。這裡存在一個可能性的巨大荒野，我們可以以多種方式來畫這４條直線，從幾個不同的角開始，朝不同的方向畫。這裡還有一個毫無線索的高原，幾乎沒有任何線索，告訴我們該如何逐步思考，並最終得到問題的答案。這種方法和另外一種方法看起來似乎都沒有什麼差別，而且對於普通人來說，這些方法都沒有奏效——總是有一點游離在這４條直線之外。
我們先來看看克朗代克淘金熱中的第四個特徵——給人以虛假希望的綠洲。這裡，看起來馬上就能解決問題的那些答案具有極大的誘惑力。除了其中某點之外，我們很容易將所有其他點都連接起來，因此，可能只要對這類似乎離答案很近的方案作個調整，能將９個點全部連接起來了
然而，這個問題所具有的奇特的欺騙性特徵也符合克朗代克淘金熱問題的第三個特徵——狹窄的勘探山谷。大部分人都自然而然地將他們畫的直線局限在這９個點構成的正方形的範圍之內。然而，真正的答案卻落在這個範圍之外。能成功解決這個問題的人允許他們畫的直線延伸到這個正方形之外。
總之，要求突破性思維的問題都是克朗代克淘金熱的４個特徵的某種程度的結合，正是克朗代克淘金熱的這４個特徵使得此類問題變得不合乎邏輯：無法通過順序推理獲得答案。
當然，這裡並不是說合乎邏輯的問題和不合乎邏輯的問題之間的區別是絕對的，即它們之間根本沒有什麼中間形態。事實上，克朗代克淘金熱的４個陷阱在不同問題中存在的程度是不同的。不合乎邏輯的問題和合乎邏輯的問題之間的區別，在某種程度上，就像危險的狗和溫順的叭兒狗之間的區別一樣：它們之間的區別並不是清晰的，它們代表的不過是一個連續的兩個極端。真正危險的狗是處在高大、頑劣且具有侵略性這一極端的，而叭兒狗則是處在嬌小、柔和且溫順這一極端的，在這兩個極端之間還存在著許多不同類型的狗。
克朗代克淘金熱的４個特徵揭示了為什麼好運氣在突破中扮演了重要角色。這些特徵也指出了我們邁向能夠增加運氣、提高幾率的思考方式的方向。我們確實無法以順序推理來解決不合乎邏輯的問題。但是，當我們接受此類問題所具有的克朗代克特徵、並且以「克朗代克的邏輯」行事時，這些問題就可能迎刃而解。此時，良好的突破性思維全面超越了順序推理的路徑。
大家都知道突破性思維是一項藝術，也是一門技術，尋根問底的精神和豐富的經驗使得人們更可能游刃有餘地進行此種思維。對它進行系統化梳理，以揭示其基本模式和策略，這是可能的。突破性思維可以被分解為４個克朗代克邏輯運算，這４個邏輯運算與克朗代克淘金熱中的４個挑戰一一對應。它們可以被分別稱作「漫遊」、「探測」、「重構」，及「離開」。
這４個運算都可以適用到前面提到的「９點連線」問題上。首先讓我們來看看各處「漫遊」。「９點連線」問題中，有各種可能的方式來畫這４條直線。「漫遊」意味著廣泛地探索所有可能性，試試這種方法，再試試另外一種方法。漫遊往往還意味著通過測試所有可能性，對相關問題獲得系統性的看法。
我們可以利用９個點組成的圖案的對稱性來壓縮可能性的數量。實際上，我們面對的只有３種可能性：從中心點、邊上的點或角上的點開始畫直線。由於這個圖案的對稱性，從邏輯上來說，我們到底是從哪個邊上的點或者哪個角上的點開始，實際效果都是一樣的。因此，只存在３種可能性。再進一步的分析表明，可能性實際上只有兩種。中心點實際上算不上什麼我們要畫的直線的起點，因為在畫第一條直線時，我們會自然而然地將它和某個角上的點或者邊上的點連接起來，因此，我們首先只需從某個邊上的點或者某個角上的點開始就行了。
現在讓我們來「探測」隱藏在看起來似乎「毫無線索的高原」中的線索。當我們試著開始在這個「９點連線」問題中畫直線時，我們幾乎沒有任何線索。不論從哪個點開始，都不奏效。而且，我們也不清楚該朝哪個方向前進。「探測」意味著努力尋找給我們指明方向的線索。例如，我們可以仔細地重新閱讀題目，看看它的確切含義到底為何，或許我們就會發現題目根本就沒有說直線必須在這９個點構成的方框的範圍之內。需要突破性思維的謎題中缺乏的條件——本來應當說明但是卻沒有說明的東西，往往就是我們的線索所在。
接著，讓我們來對這個問題進行「重構」，以解決所謂的「狹窄的勘探山谷」問題。當毫無成效地將精力耗費在這個「９點連線」問題上一段時間之後，我們可能注意到我們實際上陷入了沒有盡頭的循環之中，一遍又一遍地重複著同樣的畫法。這個時候我們就可能很疑惑：「到底哪些約束條件是我想當然地加進來的呢？」之後，我們可能放棄原來的框框，轉而尋找更加解放我們思維的框架。例如，我們可能注意到我們畫的直線一直都局限在這９個點形成的方框內，這樣，我們就可能將眼光投向更為寬闊的範圍。
最後，讓我們試著「離開」，以避免「給人以虛假希望的綠洲」。在「９點連線」這個問題中，許多方法都能畫出４條直線，將其中８個點連接起來，只剩一個點桀驁不馴地游離在這些直線之外。這些方法幾乎就能成功了，但是卻不是真正的答案。我們可能會受困於此種似是而非的方法，幻想著可能只需作稍許改變，就能夠馬到成功。「離開」就是要讓我們離開那些儘管誘人、但卻無法真正解決問題的方法。
這４個運算過程都清楚地說明了這一點：突破性的思維方式只是增加了運氣。不論是「漫遊」、「探測」、「重構」還是「離開」，都不可能確保試圖解決「９點連線」問題的人能夠成功地跳出這９個點構成的方框的局限。但是所有這４個步驟都增加了此種幾率。
充滿各種可能性的荒野的徵兆：令人感覺不知所措。存在大量的可能性，但是這些可能性中鮮有奏效的。
對策：進行大範圍的「漫遊」。「漫遊」是為了在可能性的空間內大範圍地來回走動，看看這裡，瞧瞧那裡，而不是在某個地方逗留過久。後面有一章將要討論的「集思廣益法」，就是一種典型的「漫遊」方式。「漫遊」可以是漫不經心的，但也可以是系統性的。我們可以進行全面的搜索，同時盡力避免重複勞動。人們往往可以壓縮需要搜索的可能性的空間。有時候人們可以利用這個可能性空間中的重複性，從而只搜索其中的一部分，但是實際上卻等於搜索了整個空間，正如我們在「９點連線」這個問題上對對稱性的利用那樣。有時候人們可以馬上排除大量的不太可能的可能性，而只專注於餘下的那些可能性。
似乎毫無線索的高原的徵兆：毫無線索。沒有什麼明顯的能指明正確的前進方向的線索。
對策：「探測」隱藏的線索，儘管看起來似乎沒有什麼線索，但是如果人們到另外一個地方去搜索或者更加仔細地觀察不合理之處或其他可疑的特徵，就可能發現隱藏的線索。因此，在「９點連線」這個問題中，不能僅將注意力放在自己畫的那些直線上，而是應當回頭重新看看題目，以尋找線索。題目中並沒有明確將那４條直線限定在９個點構成的方框內，這就可以被看作一條線索。
狹窄的勘探山谷的徵兆：局限性。人們可能陷入了死循環之中，不斷地重複著同樣的方法。這表明人們進行的搜索可能被不必要的限定在某個範圍之內。
對策：進行「重構」，當搜索看起來似乎進入了死循環時，人們就應當看看隱含的假設、問題的描述以及其他因素是如何將自己局限在了一個有限的區域內的。進行「重構」通常是有效的：對主要假設提出質疑或者以一種全新的方式來表述相關問題，擴大或者轉移搜索的範圍。
給人以虛假希望的綠洲的徵兆，受了迷惑。那種看起來順其自然的、必然的簡單方案或者不完全的方案迷惑了人們，使得他們一直固執於這些方案。
對策：「離開」那些虛假的希望，這就意味著意識到了那個綠洲的性質，並且將之拋於腦後。人們可以重新回到早先的某個點，從那裡選擇另外一條道路前進——完全放棄當前的方法，去試試其他方法，或者可以通過擴大或改變問題的定義的方式來避開原來的方法。有時候，這個綠洲是人們啟程前行的非常好的起點，但條件是人們必須真正離開它。
讀者應當注意到這４個運算過程之間都存在著某個共通性，它們都要求人們去發現新的可能性。此外，每個運算過程都有助於推動其他運算過程。例如，由於機緣湊巧，進行大範圍的漫遊很可能讓人們「探測」到此前沒有注意到的一個隱藏線索，然後，以一種全新的方式對問題進行「重構」，或者「離開」那些虛假的希望。
但是這４個運算過程又不是相互等同的，它們導引人們向不同的方向努力。專注地付出努力去「探測」、「重構」或者「離開」，比之毫無目的的漫遊來說，更可能讓人們實現這些目標。同樣地，對問題進行「重構」可能有助於「漫遊」、「探測」、「離開」，但是它並不能非常可靠地取代後三者的作用。
因此，突破性思維的４個運算過程只有相輔相成，共同作用，才能夠解決「克朗代克式的挑戰」。
各種謎題構成的世界給了我們鍛煉突破性思維的體育館，但是這種鍛煉的真正收穫體現在現實世界之中——這裡不合邏輯的問題大量地存在著、發生著。
我們來看一下這個例子：
安迪已經３０多歲了，他長期以來一直對自己的工作非常不滿意。於是，就想換個完全不同的工作，但是到底換什麼工作呢？當他開始考慮他可能從事的工作時，他發現他的背景讓他可以從事多種職業。
儘管這個例子和前面提到的「９點連線」問題或者需要洞察力的科學問題不是非常相同，但是從一種通常的意義上來說，它和這二者還是相同的。安迪已經進入了克朗代克式的可能性的荒野了。通過系統性的突破性思維，安迪可以增加他的運氣。
首先，安迪「漫遊」在荒野之上。安迪可能進行系統的探索。他可以列出清單，查閱相關資料以刺激他的靈感，將類似的工作放在一組，這樣，他就完全覆蓋了整個可能性的空間。通過排除那些儘管看起來誘人、但他沒有真正能耐從事的職業，安迪可以大幅地壓縮這個空間，同時卻不喪失任何真正的機會。當然，安迪可能不會採用過於狹隘的標準，以致這些標準最後指向的又是他當前的工作。
其次，安迪開始「探測」他離開「高原」的路線。假設安迪正在考慮的所有新工作看起來都不錯，但是沒有哪個工作比較理想——它們都沒有向安迪指明向更好的可能性前進的方向。因此，安迪就發現他陷於一個似乎毫無線索的高原之上了。他仔細地考慮自己的工作經歷，自問：「在什麼時候我感覺良好呢？在什麼時候我又感覺不那麼良好呢？」他可能發現真正起作用的可能是同事間的相互關係。這樣一來，他需要的就是在他現在的工作環境中努力與同事建立更好的人際關係，或者從頭開始，找一個新的工作環境，這個工作環境更有利於他與同事建立良好的人際關係。