附錄1 關於太陽系較大質量的成員與地球最近一次碰撞之可能性的簡單碰撞物理學討論
我們這裡考慮這樣的可能性．維裡科夫斯基所設想的大量質星體，從木星中拋出來衝擊地球。維裡科夫斯基假定，該彗星與地球之間發生了摩擦碰撞或近碰撞。我們將把這一思想包含在「碰撞」的名稱之下。試考慮一球形星體，其半徑為R，在與它大小相似的其他星體間運動。當諸星體的中心相距2R時，碰撞就會發生。這時，我們可以說有個有效的碰撞截面為σ＝π（2R）2＝4πR2，這便是為了使碰撞發生而運動星體的中心所必須碰擊的靶面積。讓我們假定，僅有一個這樣的星體（維裡科夫斯基的慧星）正在運動，而其他星體（即內太陽系的諸行星）是靜止的。內太陽系諸行星運動的這種忽略可以表明所造成的誤差小於2的因子，令彗星以速度V運動並令潛在靶（內太陽系的諸行星）的空間密度為n。我們將使用的單位中，R是厘米（cm），σ是（厘米）』，v是厘米/秒，而n是每立方厘米內的行星，n顯然是一個非常小的數字。
當彗星與橢圓平面成一系列軌道交角時，如果我們假定這個交角有最小似真值，那麼，我們將正好作出了最有利於維裡科夫斯基假說的假定。如果彗星的軌道交角不存在任何限制的話，那麼，軌道交角就會有集中在太陽的一個體積中任何地處運動的相等可能性，而且具有半徑r＝5天文單位（1天文單位＝1．5×10[13]厘米），即木星軌道的半主軸。彗星能在其中運動的體積越大，則這個彗星與另一個星體以任何形式相碰的可能就越小。因為木星的快速旋轉，從它內部飛出的任何星體都將有在行星赤道平面中運動的趨向，這個赤道平面與地球繞太陽轉動平面傾斜1．2度。然而，因為彗星完全進入太陽系內部，所以，噴射事件必須充分有力，以致最終它的軌道交角的任何值i都是似真的。此時一個最可能給出的較低值i＝1．2度。因此，我們考慮彗星在包含楔形體積某處的軌道中運動（見圖示），楔形的中心點是太陽（彗星軌道在一個焦點上必定有太陽）並具有角i的一半。這時它的體積為（4／3）πr3sini＝4×1040（厘米）3，僅是以r為半徑的球的整個體積的百分之二。由於在這個體積中有三個或四個行星（不考慮小行星），所以與我們的問題有關的靶的空間密度大約是每立方厘米10－40行星（10－40行星／（厘米）3）。在內太陽系偏心軌道上運動的一彗星或其他星體的典型相對速度，可能是每秒20公里。地球半徑R＝6．3×108厘米，這個數字幾乎恰好也是金星這顆行星的半徑。
現在讓我們作這樣的想像：彗星的橢圓徑跡，在我們看來，仍然是筆直的，它行進了某個時間T，直到碰上一行星才停下來。在這段時間內，它將在具有體積avT立方厘米背後開闢一條想像隧道，而在這個體積內，必定剛好有一顆行星存在。但1／n也是包含一個行星的體積。所以，兩個量值相等且有T＝（nσv）－1；
此處T稱為平均自由時間。
當然，實際上，彗星會在橢圓軌道上行進，而且碰撞發生的時間將受到引力的某種程度的影響。然而，容易指明（參見例如尤里，1951年），對於V的典型值和如維裡科夫斯基所設想的太陽系歷史的相對短暫的運行來說，萬有引力效應會使有效碰撞截面a有少量增加，而用上述方程作粗略計算，必定能給出近似正確的結果。
自太陽系有了最早歷史起，造成月亮、地球和內行星上衝擊陷坑的星體，是那些高偏心軌道的星體：彗星和特別是阿波羅星體——它們要末是「死」彗星，要末是小行星。利用平均自由時間的簡單方程，天文學家們就能很準備地說明，比方說，月球、水星或火星，自它們形成以來在其上所產生的陷坑數：這些陷坑是阿波羅星體偶然碰撞的結果，或更罕有的是彗星與月亮表面或行星表面偶然碰撞的結果。同樣，方程還正確地預言了地球上最近形成衝擊坑，諸如亞利桑那的隕石坑的年代。在觀察和簡單的碰撞物理學之間的這些定量的一致性，提供了某種實質性的理由使我們確信；同樣的考慮完全適用於我們這裡所討論的問題。
我們現在能就維裡科夫斯基的基本假說作些計算了。目前並不存在直徑大於幾十公里的阿波羅星體。小行星帶內的星體大小，事實上在碰撞確定大小的任何其他地方，都可通過粉碎物理學（Comminution Physics）得到理解。已知大小範圍內的星體數，與具有某種負功率（通常在2至4這樣一個範圍內）的星體半徑成正比。因此，如果維裡科夫斯基的原始金星彗星是象阿波羅星體或彗星那樣一些星體的某家族的一員，那麼要找到一顆半徑是6，000公里的維裡科夫斯基彗星的機遇，將大大低於要找到某一顆半徑為10公里彗星機遇的百萬分之一。更可能這個數低於十億倍，不過，讓我們在未經證實之前為維裡科夫斯基的假說留下一點餘地吧。
由於半徑大於10公里的阿波羅星體大約有十個之多，所以，存在一顆維裡科夫斯基彗星的機遇，這時大大小於十萬分之一，從而表明維裡科夫斯基的主張難以成立。這樣一個星體要以穩定狀態存在的丰度（若設r＝4天文單位，而i＝1．2度），將是n＝（10×10－5）／4×1040＝2．5×10－45維裡科夫斯基彗星／厘米3。與地球相碰的平均自由時間，這時便是：
T＝1／（nσv）1／〔（2．5×10－45cm－3）×（5×1018cm2）×（2×106cm／秒）」＝4×1021秒≒1014年這個時間比太陽系的年齡（5×109年）還要大得多。這就是說，如果維裡科夫斯基彗星是內太陽系中其他碰撞所造成的諸多殘骸之一的話，那麼，它會是一顆非常罕有的星體，它實際上從來沒有與地球發生過碰撞。
再反過來考慮一下。讓我們同意維裡科夫斯基假說，以便論證和弄清他的彗星在被木星拋出之後將需要多長時間才與內太陽系中的一顆行星相碰。這時，n適用於行星靶的丰度而不適用於維裡科夫斯基彗星的丰度，而T＝1／〔（10－40cm－3）×（5×1018cm2）×（2×106cm／秒）〕＝1015秒≒3×107年。因此，維裡科夫斯基彗星，在過去幾千年內與地球發生單一的全碰撞或磨擦碰撞的機遇是（3×104）／（3×107＝10－3，或者說機遇為一千分之———假定它與其他諸多殘骸無關的話。如果它是這些殘骸中的一部分，那麼，這種可能性上升到（3×104）／1014]＝3×10－10，或者說機遇是三十億分之一。
關於軌道碰撞理論的一種更精確的表述，可以在厄恩斯特·奧皮克（Ernst Opik）的經典論文（1951年）中找到。他考慮了一個圍繞質量為M的中心體軌道中具有軌道要素ao、eo＝io＝0的質量為mo的靶體。於是，一個具有軌道要素a、e、i和週期P，質量為m的試驗體在接近距離為R的靶體之間有特徵時間T，這就得出
T/P≒〔xsin i[Ux/U]〕/｛Q2〔1＋2（mo＋m）/MQU〕｝
A＝a／ao，Q＝R／ao
[Ux]＝〔2－1／A－A（1－e2）〕[1/2]
U＝｛3－1／A－2〔A（1－e2）〕[1/2]cosi｝1／2；
這裡U是「在無限」時的相對速度，Ux是沿著交點線上的份量值。
如果取R為行星的物理半徑，則：
金星 地球 火星 木星
Q×105 5． 6 4．3 1． 5 8．82
mo／MQ 0. 088 0.14 0.043 21．6
為了把奧皮克的結果應用到我們討論的問題，方程可簡化為近似式：
T/p≒（xsin i）/Q2
用P≒5年（a≒3天文單位），我們就得到
T≒9×10[9]sini年，
或從上述較簡單的論證得出大約1／3個平均自由路徑的壽命。
請注意，在兩種計算中，一種是在地球半徑N之內，有物理碰撞可能性的N2倍。因此，當N＝10時，略去63，000公里，上述T值必須減少二個數量級。這大約是地球與月球之間距離的六分之一。
對維裡科夫斯基的工作來說，必須使用一種較嚴密的方法；畢竟他的書就叫《碰撞中的世界》。此外，書中宣稱（第72頁），由於地球經過金星的結果，海浪將湧起到1600公里的高度。從這點出發，很容易從簡單的潮汐理論（潮高與M/r3成正比，這裡的M是金星質量，r為相遇時行星間的距離）中倒推計算出維裡科夫斯基所談的摩擦碰撞，即地球和金星表面摩擦。但也請注意，即使忽略63，000公里，碰撞物理學也救不了維裡科夫斯基假說的命，這個附錄中勾劃出這些問題的梗概。
最後，我們看到，木星的軌道和地球的軌道相交的那條軌道，意味著與木星再次密切接近，使之在與地球近遭遇時從太陽系中拋出星體的高幾率——先鋒10號宇宙飛船的彈道就是一個自然的範例。因此，金星這顆行星的現實存在必定暗含著，維裡科夫斯基的彗星很少造成後來到達木星的途徑，所以，這顆彗星的軌道迅速成了圓形軌道了。（似乎無法實現這種迅速圓形化的問題，在正文中已作了討論）。於是，維裡科夫斯基必須假定，彗星與地球的緊密相遇，在它從木星拋出之後就立即發生了——這與上面的計算相一致。
彗星從木星中拋出後只在幾十年內就會衝擊地球的幾率在百萬分之一的機遇和兆分之三的機遇之間，那是建立在存在諸多殘骸成員的兩個假定基礎上的。即使我們假設：如維裡科夫斯基所說，彗星是從木星中拋出的，並作出這樣一個不可能的假定，即；它與我們今日在太陽系中所見到的任何別的星體無關——就是說，較小星體從沒有從木星中拋出來過——那麼，它衝擊地球的平均時間將約為三千萬年，與他的假說約一百萬的因子是不一致的。即使我們讓他的彗星在接近地球之前漫遊內太陽系幾個世紀，但統計學依然會有力地反對維裡科夫斯基的假說。當我們斷定維裡科夫斯基相信在幾百年內從統計上有若干獨立的碰撞（見正文）時，他的假說是真的純可能性慢慢地消失了。他的行星反覆遭遇戰，將需要可能被叫做《碰撞中的世界》的那種東西。
附錄 關於地球自轉突然減緩的結果
問：那末，布賴恩（Bryan）先生，你一直在思考地球如果依然在那裡，它會碰巧發生什麼的問題？
答：沒。我相信上帝會負責安排這件事的。達羅（Darrow）先生。
問：你不知道它會轉變為一種熔化的物質嗎？
答：當你站在這裡時，你就在驗證了這一點。我將給你一個機會。《試驗的範圍》（1925年）
把我們固定在地球表面的
萬有引力
加速度是103厘米／秒2＝1克。而減速度a＝10－2克＝10厘米／秒2，幾乎是不可覺察的。如果造成的減速度是不可覺察的，那麼，使地球停止其旋轉的T是多少呢？地球的赤道角速度是Ω＝2π/p＝7．3×10-5弧度／秒；赤道線速度是RΩ＝0．46公里／秒。因此t＝RΩ／a＝4600秒，或者說略微超過1小時。
地球自轉的比能是
E＝[1/2]IΩ2／M≒1/5（RΩ）2≒4×108爾格／克
這裡的I是地球的主要轉動慣量。它小於硅酸鹽熔解的潛熱L≒4×109爾格／克，因此，克拉倫斯·達羅（Clarence Dar-row）關於地球熔解的觀點是錯誤的。不過，他是立足於正確的觀念上的：熱的考慮事實上對約書亞故事是決定性的。具有典型的比熱容Cp≒8×106爾格／克·度，要使地球在一天內停止和重新轉動，將傳遞平均溫度增值為△T≒2E／Cp≒100度K，足以使溫度上升到超過水的正常沸點。接近地表和低緯度處甚至將是最嚴重的；具有v≒RQ，△T≒v2/Cp≒240度K。值得懷疑的是，居民們竟不能注意到如此戲劇地發生的氣候變化。減速只是要逐漸充足，而不是變熱，這也許還是可以忍受得住的。
附錄 如果由接近太陽的路徑給金星加熱，則金星目前的溫度如何？
假定與太陽接近的路徑加熱金星，又由於輻射到太空而使行星最後冷卻，這是維裡科夫斯基論題的中心。但是，他沒有計算過任何地方的熱量或冷卻速率。然而，一個粗略的計算是能夠很容易地做到的。掠過太陽光球層的星體，如果它來自外側太陽系，就必定以很高的速度運行：500公里／秒是近日點路徑上的典型值。但太陽半徑是7×1010厘米。因此，加熱維裡科夫斯基彗星的典型時間標度是（1．4×1011厘米）／（5×107厘米／秒）≒3000秒，這比1小時要少。彗星因它緊密接近太陽而可能達到的最高溫度是6000度K，這也是太陽光球層的溫度。維裡科夫斯基沒有討論他的彗星與太陽發生近一步摩擦的事件；隨之，該彗星成了行星金星並在太空中冷卻——這些事件，比方說，一直到目前為止已經歷了三千五百年。但以輻射方式加熱和冷卻，以及以服從斯蒂芬·玻爾茲曼熱力學定律的同樣方式支配這些事件的物理學，都要求熱量和冷卻速率均正比例於溫度的四次冪。所以，彗星在3，000秒太陽熱中所獲得的溫度增值與3，500年輻射冷卻中的溫度增值的比率為（3×103秒／1011秒）1／4＝0．013。金星從這一來源中所致目前的溫度，至多只有6000×0．013＝79K，或者說大約恰好是空氣冷凝時的溫度。維裡科夫斯基的機制無法使金星保持是熱的，縱然對「熱」一詞作了名符其實的定義也罷。
即使有若干條（不止剛好一條）接近的途徑通過太陽光球層，結論實質上也不會改變。金星高溫的來源，不管如何戲劇性，不會只發生一次或幾次加熱事件。熱的表面需要有連續的熱源——這熱源或者是內生性的（來自行星內部的放射熱），或者是外源性的（太陽光）。現在，正如許多年前所提示過的那樣（參見懷爾德〔Wildt〕，1940；薩根，1960），事情很明顯，來源正是後者：正是太陽目前的輻射，連續地落在金星上，才使它的表面具有高溫。
附錄 使偏心的彗星軌道圓形化所需要的磁場強度
我們近似計算了使一顆彗星的運動產生有意義的振動所需磁場強度的數量級，維裡科夫斯基沒有這樣做。攝動場可能來自彗星即將更靠近的行星，或來自行星間的磁場。因為這個場起了重要作用，所以，它的能量密度必須可與彗星的動能密度相比較。（我們甚至不用擔心彗星是否具有電荷和場的分佈，將允許這種分佈對強加的場作出反應）。因此，條件是
B2/8π＝〔[1／2]mv2〕/〔[4/3]πR3〕＝[1/2]ρv2這裡的B是磁場強度，單位是高斯，R是彗星的半徑，m是彗星的質量，V是它的速度，P是它的密度。我們可以看出，這一條件與彗星的質量無關。取內太陽系中典型的彗星速度約為25公里／秒，ρ取作金星的密度，約5克／cm3，我們發現，需要超過一千萬高斯的磁場強度。（如果圓形化是電場而不是磁場所致，則將應用靜電單位的類似值。）地球赤道表面的場大約是0．5高斯。火星和金星的場都小於0．01高斯。木星的場，根據先鋒10號所測結果表明小於10高斯。典型的行星之間的場是10－5高斯。在太陽系這樣一個大尺度範圍內，無法產生接於10兆高斯的任何電磁場。也沒有跡象表明，地球附近有過這樣的場。我們憶起，熔化的岩石在再度凍結過程中的磁域是由佔優勢的場來定向的。如果地球在3500年前曾經歷過（即便是相當短暫地）10兆高斯的場，岩石磁化證據就會清楚地表明這一點。但實際上並沒有任何證據。
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